Travelling waves in nonconservative media with dispersion

A thesis accepted by Tallinn Technical University for the Degree of Master of Science in Natural Sciences

Author:
Pearu Peterson

Tallinn Technical University, Estonia

Promoters:
Jüri Engelbrecht, DSc., Prof.

Institute of Cybernetics at Tallinn Technical University, Estonia

Andrus Salupere, PhD

Institute of Cybernetics at Tallinn Technical University, Estonia

Opponents:
Leo Ainola, DSc., Prof.

Tallinn Technical University, Estonia

Jaan Kalda, PhD.

Institute of Cybernetics at Tallinn Technical University, Estonia

Abstract:

Käesolevas töös on vaatluse all mittelineaarne lainelevi dispersiooniga mittekonservatiivses keskkonnas.

Konservatiivse keskkonna mittelineaarsuse ja dispersiooni koosmõju võib põhjustada üksiklainete formeerumise. Selle nähtuse klassikaliseks mudeliks on Kortewegi-de Vriesi (KdV) võrrand, mille tüüpilisteks lahenditeks on solitonid. Solitonid on teatud tüüpi üksiklained, mis interakteeruvad elastselt, s.t. peale kokkupõrget taastavad nad oma esialgse kuju ja kiiruse.

Mittekonservatiivsete süsteemide korral on võimalik lainete võimendumine või nende sumbumine välise jõuvälja tõttu. Antud töö vastav mudelülesanne on seotud seismiliste lainte leviga teatud mikrostruktuuriga kihis (Maa koores). Osutub, et ühemõõtmelisel juhul vastav lainevõrrand on lihtsustatav lisaliikmega Kortewegi-de Vriesi võrrandiks. See lisaliige kirjeldab välist jõuvälja, mis on tekkinud seismiliste lainete energia absorptsioonil keskkonda. Selle energia vabanemisel, mille põhjustajaks on näiteks küllalt suure intensiivsusega laine, võib toimuda Maa koores levivate lainete võimendumine.

Lihtsaimaks välis jõuvälja modelleerivaks KdV võrrandi lisaliikmeks, mis on kooskõlas ülalkirjeldatud fenomenoloogilise mudeliga, on kuuppolünoom. Antud töö eesmärgiks on uurida sellise välisvälja (parameetrite) mõju solitoni tüüpi lainete formeerumisel siinuslainest. Erilist tähelepanu on pööratud tugeva jõuvälja juhule, mis põhjustab statsionaarsete lainete formeerumise.

Käesoleva töö tulemusel konstrueeriti efektiivne osatuletistega differentsiaalvõrrandi integreerimise skeem, mis kasutab kiiret Fourier' teisendust ruumi koordinaadi järgi tuletiste arvutamisel ja muutuva aja sammuga Runge-Kutta integraatorit diskretiseerimisel tekkiva harilike differentsiaalvõrrandite süsteemi integreerimisel. Integreerimise tulemuste kontrollimiseks moodustati iteratsiooni skeem, mis kasutades Newtoni meetodit, püüab leida otseselt lisaliikmega KdV võrrandi statsionaarset lahendit. On kindlaks tehtud tüüpilised laineprofiilid, mis võivad formeeruda algsest siinuslainest erinevate lisaliikmega KdV süsteemi parameetrite väärtuste juures.

Place/venue:

The presentation of the thesis took place on June, 1997, at Institute of Cybernetics at TTU, Tallinn, Estonia.

Softcopy:

http://cens.ioc.ee/~pearu/theses/pearu_msc_1997.ps.gz (512 KB, in English), http://cens.ioc.ee/~pearu/theses/pearu_msc_1997.pdf (1.9MB).

Related papers:

P. Peterson and A. Salupere. Solitons in a perturbed Korteweg-de Vries system. Proc. Estonian Acad. Sci. Phys. Math., 46(1/2):102--110, 1997.

Related talks:

P. Peterson. Travelling waves in forced Korteweg-de Vries system. In 10th Nordic Seminar on Computational Mechanics. October 24--25, 1997.

P. Peterson and A. Salupere. Solitons in a perturbed KdV system. In EUROMECH Colloquium 348, Nonlinear Dynamics of Heterogeneous and Microstuctured Solids. May 22--26, 1996.